بازده، نوسان و سالانه‌سازی
بازده ساده (P₁/P₀ − 1) شهودی است ولی جمعپذیر نیست؛ بازده لگاریتمی ln(P₁/P₀) جمعپذیر در زمان است و برای مدلسازی مناسب‌تر — تفاوت دو بازده در حرکات بزرگ معنادار می‌شود. نوسان = انحراف معیار بازده‌های دوره‌ای؛ سالانه‌سازی استاندارد σ_annual = σ_period × √P (با فرض استقلال دوره‌ها). همین قاعده برای VaR افق کوتاه هم می‌آید: σ_h = σ×√(h/۲۵۲). اما حواستان باشد: نوسان نمونه‌ای با n کوچک بسیار پرنوسان است؛ به همین دلیل سبدگذاران از چند سال داده و میانگین‌گیری rolling استفاده می‌کنند.
دنباله سنگین: چرا نرمال کافی نیست
بازده واقعی دارایی‌ها معمولاً چولو و کشیده‌اند: کشیدگی اضافی مثبت یعنی رویدادهای دور از میانگین بیش از نرمال رخ می‌دهد. پیامدها: ۱) VaR پارامتری نرمال دنباله را دست‌کم می‌گیرد؛ ۲) Sharpe با انحراف معیار به‌تنهایی استراتژی‌های فروش گزینه را بیش‌ارزیابی می‌کند (نوسان کم، دنباله سنگین)؛ ۳) ترکیب چند دارایی با دنباله سنگین، سبدی با دنباله سنگین‌تر می‌دهد نه متوسط. پاسخ عملی: سنجه‌های دنبالهمحور (CVaR، حداکثر افت) و مدلهای غیرنرمال یا استرس‌تست تاریخی.
مثال عددی: دنباله سنگین شاخص
- نوسان روزانه شاخصی ۱٪ و VaR ۹۹٪ پارامتری نرمال: z = ۲٫۳۳ → VaR = ۲٫۳۳٪.
- در داده واقعی، حرکات −۵٪ تا −۱۰٪ روزانه چند بار رخ داده‌اند — ده‌ها برابر VaR پارامتری.
- VaR تاریخی ۹۹٪ همان نمونه: مثلاً ۴٫۵٪ — عددی که دنباله واقعی را می‌بیند.
- CVaR تاریخی: میانگین بدترین ۱٪ — مثلاً ۶٫۲٪: «وقتی شکست خورد، به‌طور متوسط چقدر؟»
نتیجه: نرمال، دنباله را نمی‌بیند؛ تاریخی می‌بیند ولی فقط اتفاقات گذشته را. ترکیب هر دو + استرس‌تست فرضی، استاندارد قابل دفاع است.