Option Pricing Engine — BSM · Black-76 · CRR · Implied Vol

محاسبه‌گر قیمت‌گذاری آپشن

قیمت نظری آپشن اروپایی با Black-Scholes-Merton و Black-76، و آپشن آمریکایی با درخت دوجمله‌ای CRR — همراه حل‌گر نوسان ضمنی و جدول کامل ۱۲ گریک با تعریف، واحد و قرارداد علامت. همان موتوری که لابراتوار استراتژی را تغذیه می‌کند؛ با اعتبارسنجی مستقل پایتون و تست‌های تفاضل محدود.

ورودی‌ها

قیمت دارایی (S)

قیمت اعمال (K)

روز تا انقضا

نرخ بهره ٪ (r)

بازده سود نقدی ٪ (q)

نوسان ٪ (σ)

نوع آپشن

قیمت نظری آپشن

۹٫۲۷۴۳

کران‌های معتبر: پایین ۱٫۹۴۳۷ — بالا ۹۹٫۵۰۸۱

حل‌گر نوسان ضمنی (Implied Volatility)

قیمت بازار مشاهده‌شده

قیمت بازار را وارد کنید تا نوسان ضمنی از آن استخراج شود.

۱۲ گریک استاندارد

قراردادها: نوسان سالانه اعشاری؛ تتا و چارم سالانه است و در این جدول به مقیاس روزانه رسیده؛ وگا و رو و … طبق ستون «واحد». مقادیر مبنای تحلیلی BSM هستند.

سنجه	تعریف	مقدار	واحد / مقیاس
دلتا	Delta ∂V/∂S	۰٫۵۷۶	به ازای ۱ واحد دارایی
گاما	Gamma ∂²V/∂S²	۰٫۰۱۸۵	به ازای ۱ واحد دارایی
وگا	Vega ∂V/∂σ	۲٬۷۳۳٫۱۳۷۷	به ازای ۱ واحد نوسان (×۱۰۰ نمایش)
تتا	Theta ∂V/∂t	‎−۰٫۰۲۷۸	به ازای ۱ روز تقویمی (×۱/۳۶۵)
رو	Rho ∂V/∂r	۰٫۲۳۸۳	به ازای ۱ واحد درصد نرخ (×۰٫۰۱)
لاmbدا	Lambda (elasticity)	۶٫۲۱۰۸	بی‌بعد — ٪ حرکت آپشن به ازای ٪ دارایی
وانا	Vanna ∂²V/∂S∂σ	۰٫۰۰۰۲	به ازای ۱ واحد نوسان (×۰٫۰۱)
چارم	Charm ∂Δ/∂τ	۰٫۰۰۰۲	به ازای ۱ روز (×۱/۳۶۵)
اسپید	Speed ∂Γ/∂S	‎−۰٫۰۰۰۴	به ازای ۱ واحد دارایی²
کالر	Color ∂Γ/∂τ	‎−۰٫۰۱۹۷	به ازای ۱ سال
زوما	Zomma ∂Γ/∂σ	‎−۰٫۰۰۰۶	به ازای ۱ واحد نوسان (×۰٫۰۱)
ووما	Vomma ∂²Vega/∂σ²	‎−۰٫۰۰۲۱	به ازای ۱ واحد نوسان² (×۰٫۰۱)

فرمول‌ها و قراردادهای مدل

Black-Scholes-Merton

d₁ = [ln(S/K) + (r − q + σ²/2)·T] / (σ·√T) d₂ = d₁ − σ·√T

C = S·e^(−qT)·N(d₁) − K·e^(−rT)·N(d₂)

P = K·e^(−rT)·N(−d₂) − S·e^(−qT)·N(−d₁)

N(x) توزیع تجمعی نرمال استاندارد است؛ پیاده‌سازی موتور از erfc با دقت مضاعف استفاده می‌کند و در هر دو دنباله دقیق است.

Black-76 (آتی/فوروارد)

d₁ = [ln(F/K) + σ²·T/2] / (σ·√T) d₂ = d₁ − σ·√T

C = e^(−rT)·(F·N(d₁) − K·N(d₂))

P = e^(−rT)·(K·N(−d₂) − F·N(−d₁))

اتحاد مدل: Black76(F, r) ≡ BSM(S=F, r, q=r) — همین اتحاد در تست‌های پذیرش با دقت 1e-9 بررسی می‌شود و مبنای گریک‌ها و حل‌گر IV این ابزار است.

Cox-Ross-Rubinstein دوجمله‌ای

Δt = T/steps؛ u = e^(σ√Δt)؛ d = 1/u؛ p = (e^((r−q)Δt) − d)/(u − d)

اروپایی: V = e^(−rT)·Σ C(n,k)·p^k·(1−p)^(n−k)·V_T(k)

آمریکایی: استقرار معکوس با V_node = max(ادامه، اعمال زودهنگام) در همه گره‌ها

اگر ترکیب r−q و σ√Δt احتمال p را خارج از (۰،۱) ببرد، موتور با خطای تایپ‌شده و پیام فارسی متوقف می‌شود (نه مقدار بی‌معنا).

حل‌گر نوسان ضمنی

Newton–Raphson: σ ← σ − (V(σ) − P_mkt) / Vega(σ)، seed σ₀ = 0.2

Fallback: Bisection روی ‎[1e-4, 5.0]‎ با تلورانس ‎|ΔV| ≤ 1e-8

کران‌های معتبر قیمت: ارزش ذاتی تنزیل‌شده تا حداکثر ارزش نظری؛ خارج از این بازه با خطای PRICE_BELOW_INTRINSIC / PRICE_ABOVE_MAX متوقف می‌شود.

فرضیات مدل

نوسان‌پذیری (σ) ثابت و مستقل از قیمت اعمال است — مدل «لبخند نوسان» (Volatility Smile) را نمی‌بیند.
سود نقدی به‌صورت بازده پیوسته q مدل می‌شود؛ سود نقدی گسسته (Cash Dividend) مدل نیست.
نرخ بهره r پیوسته و ثابت است؛ نرخ‌های منفی تا −۵۰٪ پشتیبانی و مستند شده است.
بدون جهش (Jump) و بدون نوسان تصادفی (Stochastic Volatility) — توزیع قیمت نهایی لگ‌نرمال است.
مدل CRR با تعداد گام محدود، نوسان همگرایی دارد؛ اختلاف با BSM در تست‌ها تا N=۱۰۰۰ بررسی شده است.

محدودیت‌ها و تفسیر

قیمت نظری، قیمتی نیست که در بازار معامله شود؛ تفاوت با بازار به اسپرد، نقدینگی و لبخند نوسان برمی‌گردد.
برای آپشن‌های آمریکایی، ارزش اعمال زودهنگام با درخت CRR تقریب زده می‌شود و مدل تحلیلی ندارد.
حل‌گر نوسان ضمنی برای قیمتهای خیلی نزدیک ارزش ذاتی در انقضاهای کوتاه، به‌جای نیوتن از روش دوبخشی استفاده می‌کند و پاسخ همیشه داخل بازه ‎[۰٫۰۱٪، ۵۰۰٪]‎ است.
نوسان ضمنی یک عدد برای هر آپشن است؛ سطح ولتاژی ضمنی چندبعدی (Skew/Term Structure) در این ابزار مدل نمی‌شود.

اعتبارسنجی و مراجع

هر مقدار این موتور در CI با فایل مرجع مستقل مقایسه می‌شود: 972 سناریوی BSM (قیمت + ۱۲ گریک)، 72 سناریوی Black-76، 144 سناریوی CRR (اروپایی/آمریکایی با N=۲۵۰ و ۱۰۰۰)، 36 دور‌زنی نوسان ضمنی و 4 سناریوی احتمال سوددهی — همه با پایتون استاندارد (math.erf) و تلورانس‌های مستند. علاوه بر آن، ۱۲ گریک با تفاضل محدود مرکزی و اتحادهای Parity بررسی می‌شوند.

مراجع: Hull (2022) Options, Futures, and Other Derivatives؛ Black & Scholes (1973)؛ Black (1976)؛ Cox, Ross & Rubinstein (1979)؛ Haug (2007) The Complete Guide to Option Pricing Formulas.